⚛️ PHY1001 LEC10-15 旋转运动学

旋转运动


Basics


  • 转动惯量：$I=cMR^2$，粒子型物体 $c=1$，圆盘/柱子绕轴 $c=\tfrac12$ ……

  • 动能：$K=\tfrac12 Mv^2+\tfrac12 I_{\rm com},\omega^2$

  • 力矩：$\vec\tau=\vec r\times\vec F,\ \ \vec\tau_{\rm net}=\dfrac{d\vec L}{dt},\ \ \tau=F_{\rm net},r=I_{\rm axis},\alpha$，描述让物体沿某轴旋转的倾向

  • 角动量：$\vec L=\vec r\times\vec p,\ \ L=rp=rMv=I\omega$ （叉乘都用右手定则判断方向，$\vec r$ 永远从轴心指向边）

  • 对于无外力做功的刚性系，系统角动量守恒：$\vec L_i=\vec L_f$

  • 轨道进动 (Precession)：

    • $\text{进动角 } d\phi=\dfrac{dL}{L}$
    • $\text{进动角速度 }\ \omega=\frac{d\phi}{dt}=\frac{Mgr}{I\omega}$

  • 不打滑滚动意味着：$s=\theta r$，即质心的位移等于边滚过的距离

    • 在质心上，$v=v_{\rm COM}+\boldsymbol\omega\times\mathbf r=0$，即 $v_{\rm COM}=\omega r$
    • 在接地点 $p$ 作为瞬间旋转轴处，$v_p=\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ 并且 $a_{\rm COM}=\alpha R$


滚动滑动问题：两种考虑情况


主动轮：角加速度由“引擎”提供，静摩擦力朝前进方向，负责平动。
$F_{\rm NET}=f_s=m a_{\rm COM}\le \mu_s N$（不打滑时）
$\tau=\tau_{\rm applied}-f_s R$
$a_{\rm COM}=\alpha R$
解得：$a_C=\dfrac{\tau_{\rm eng}R}{I+mR^2},\qquad f_s=ma_C=\dfrac{m,\tau_{\rm eng}R}{I+mR^2}.$

  • 比如一个转动的球被丢在光滑平面上，没有摩擦力就只会在原地打滚。
  • 比如无动力的轮子上坡：摩擦力与重力 $\sin$ 分力方向相反，指向前进方向，做正旋转功。
    所以同样的轮子上同样的坡，根据 $K=\tfrac12 M v_{\rm com}^2+\tfrac12 I_{\rm COM}\omega^2=\Delta W$，受摩擦力
    的能到更高的位置。

从动轮：静摩擦力朝受力的反方向，负责转动。
$F_{\rm NET}=F_{\rm applied}-f_s=m a_{\rm COM}$
$\tau=f_s R\le \mu_s N R$（不打滑时）
$a_{\rm COM}=\alpha R$
解得：$a_C=\dfrac{F}{m+I/R^2},\qquad f_s=\dfrac{I}{R^2}a_C=\dfrac{F I}{I+mR^2}$


例 1：$F$ 离中心 $d$ 拉动半径 $R$ 的可滚动物体，受到 $f_s$，如果不滑动

若假设摩擦力朝后，受力 $F_{\rm NET}=F_{\rm applied}-f_s=m a_{\rm COM}$。

  1. 从质心处看：
    平动：$F-f_s=m a_{\rm COM}$
    转动：$\tau=F d-f_s R=I\alpha$
    约束：$a_{\rm COM}=\alpha R$

  2. 从瞬间转动轴看：
    平动：无
    转动：$\tau_F=F(d+R)=I_P,\alpha=(I+MR^2)\alpha$
    约束：$a_{\rm COM}=\alpha R$
    摩擦力直接忽略，因为其力臂为 0

摩擦力朝哪？通过增大力矩会导致摩擦力超运动方向增大。其方向因为受到不能滑动限制，是会改变的。


例 2：被丢在桌上的正在以 $\omega_0$ 旋转的球，受到向运动方向的 $f_k$

$v_{\rm COM}(t)=0+a_{\rm COM} t=\mu_k g,t$
$\omega(t)=\omega_0-\alpha t$

  • 滑动停止时：$v_{\rm COM}(t’)=\omega(t’)R$，$a_{\rm COM}=\alpha R$，$f_k=0$
  • 机械能不守恒，$f_k$ 做的功部分变成了内能

可以推导出直到滑动停止所需的时间公式： $$ \boxed{\ t=\frac{\big|v_0-\omega_0 R\big|} {\mu_k g\left(1+\dfrac{MR^2}{I}\right)} =\frac{M\big|v_0-\omega_0 R\big|} {f_k\left(1+\dfrac{MR^2}{I}\right)}\ } $$ 这是只受摩擦力下，停止滑动所需时间的通解。

一般不会考虑初线速度，也就是 $v_0=0\Rightarrow$ 纯滚瞬间的速度与角速度：
$$v =\frac{I}{I+MR^2}\omega_0 R ;\ \ \omega =\frac{I}{I+MR^2}\omega_0$$
能量损失（变为内能）：$\displaystyle \Delta K=-\tfrac12\frac{IMR^2}{I+MR^2}\omega_0^2$



力与力矩平衡问题

对于解中心位置、解力的大小或者存在变力的情况下，常用力与力矩平衡解答： $$ F_{\rm net,\ COM}=0;\ \ \tau_{\rm net}=0 $$ 通过选择特殊点作为力矩轴（通常是接触点或质心），可以让一些麻烦的力的力矩为 0

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